CHAPTER · 00 · INTRODUCTION

微积
可见

从切线扫过曲线的瞬间，到黎曼矩形填满面积的累加，再到 ε-δ 的精确对话—— 把微积分中那些抽象的符号，还原为可以拖动、可以看见、可以触摸的几何对象。

导数 · 切线 积分 · 面积 极限 · ε-δ
d/dx
瞬时变化
∫
无穷累加
lim
趋于无穷
tangent_sweep.demo
sin(x) · cos(x)
a = 0.00 f(a) = 0.00 f'(a) = 1.00
SPEED
FIG. 01 — 切线沿 sin(x) 持续扫过，斜率即 cos(x) 滚轮缩放 · 拖拽平移
CHAPTER · 01 · DERIVATIVE

导数

Derivative

导数刻画的是函数在某一点的瞬时变化率。 当曲线上两点无限靠近，割线便化身为切线—— 这条切线的斜率，就是导数。

DEFINITION · 导数的极限定义
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

拖动下方曲线上的橙色点， 观察切线如何随之倾斜；右图同步绘制 f'(x)， 每一点的纵坐标，正是左图对应点处切线的斜率。

函数:
● f(x) · 拖动橙点
f(x) = sin(x)
● f'(x) · 斜率函数
f'(x) = cos(x)
位置 a
0.00
f(a)
0.00
f'(a) · 斜率
1.00
切线方程
y = x
CHAPTER · 02 · INTEGRAL

积分

Integral

定积分是黎曼和的极限。 把区间 [a, b] 切成 n 份，每份上取一个函数值乘以宽度，全部加起来—— 当 n 趋于无穷，这些矩形便"填满"了曲线下的面积。

DEFINITION · 黎曼积分
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x_i, \quad \Delta x_i = \frac{b-a}{n}$$

拖动下方分区滑块，看矩形如何从粗糙变得细腻，近似值如何向真实值收敛。

函数
采样方法
黎曼和可视化
∫₀^π [sin(x)+1] dx
分区数 n
10
150100150200
黎曼和
6.4137
approx.
真实值
6.2832
π + 2
CHAPTER · 03 · LIMIT

极限

Limit

极限的 ε-δ 定义，是分析学的基石：不论你给出多小的 ε， 我总能找到相应的 δ， 使得 x 落在 a 的 δ 邻域内时，f(x) 必落在 L 的 ε 邻域内。

DEFINITION · ε-δ 极限
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \text{s.t.}\ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$$

拖动 ε 滑块收紧或放宽容差，δ 会自动吸附到合适的最小值，并伴随一次确认闪烁。

问题:
ε-δ 可视化
lim(x→2) (x²−4)/(x−2) = 4
ε · 函数容差
0.50
|f(x) − L| < ε
δ · 自变量容差
0.50
|x − a| < δ
逻辑对话
你给出 ε = 0.50。
我找到 δ = 0.50，
使得当 |x − 2| < δ 时，
必有 |f(x) − 4| < ε。
STEP-THROUGH PROOF

证明 · limx→2 (x²−4)/(x−2) = 4

STEP 1 · 化简分式（注意 x ≠ 2）
$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \quad (\text{当 } x \neq 2)$$

由于极限考虑 x → 2 而 x ≠ 2，可以约去 (x − 2) 这一项。

STEP 2 · 分析 |f(x) − L|
$$|f(x) - L| = |(x+2) - 4| = |x - 2|$$

把 f(x) 与极限值 L = 4 的差，化简为关于 x 的简单表达式。

STEP 3 · 选择 δ
$$\text{欲使 } |x - 2| < \varepsilon, \text{ 只需取 } \delta = \varepsilon$$

由于 |f(x) − L| = |x − 2|，δ 直接取 ε 即可。

STEP 4 · 验证定义
$$\forall \varepsilon > 0,\ \text{取}\ \delta = \varepsilon,\ \text{则当}\ 0 < |x-2| < \delta\ \text{时},\ |f(x) - 4| = |x-2| < \varepsilon. \quad \blacksquare$$

证毕。这恰好对应可视化中 δ = ε 的同步关系。

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CHAPTER · 04 · PRACTICE

练习

Practice

四道精选应用题，覆盖切线方程、 定积分、 极限证明与极值问题。 每题先尝试自行解答，遇到困难时再展开提示，最终对照完整解答。 题目难度对标大学一年级微积分考试。

PROBLEM 01 · 导数

切线方程

01

求曲线 \(y = x^3 - 3x\) 在点 \((1, -2)\) 处的切线方程。

▸ 显示提示
先求 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)，再计算 \(f'(1)\)。切线方程：\(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\)。
▸ 显示解答
$$f'(x) = 3x^2 - 3, \quad f'(1) = 3 - 3 = 0$$
$$y - (-2) = 0 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = -2$$

切线为水平线 \(y = -2\)。此时 (1, −2) 是函数的极小值点。

PROBLEM 02 · 积分

定积分计算

02

计算定积分 \(\displaystyle\int_0^{\pi} (\sin x + 1)\, dx\)，并解释其几何意义。

▸ 显示提示
利用线性性质拆分为两项：\(\int \sin x\,dx + \int 1\,dx\)。几何上是 sin(x) 一拱的面积加一个矩形。
▸ 显示解答
$$\int_0^{\pi} (\sin x + 1)\, dx = \left[-\cos x + x\right]_0^{\pi}$$
$$= (-\cos\pi + \pi) - (-\cos 0 + 0) = (1 + \pi) - (-1) = 2 + \pi \approx 5.1416$$

几何上：sin(x) 在 [0, π] 上的面积为 2（一拱），加上 [0, π] × 1 的矩形面积 π，共 2 + π。

PROBLEM 03 · 极限

ε-δ 证明

03

用 ε-δ 定义证明：\(\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6\)。

▸ 显示提示
先化简 \(\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3\)，然后考察 \(|f(x) - 6| = |x - 3|\)。
▸ 显示解答
$$\forall \varepsilon > 0,\ \text{取}\ \delta = \varepsilon.$$
$$\text{当}\ 0 < |x - 3| < \delta\ \text{时},\ \left|\frac{x^2-9}{x-3} - 6\right| = |x + 3 - 6| = |x - 3| < \varepsilon.$$

由定义，极限为 6。∎

PROBLEM 04 · 应用

极值与导数

04

求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的所有极值点，并判断是极大还是极小。

▸ 显示提示
求导 \(f'(x)\)，令其等于 0 得临界点；再用二阶导数 \(f''(x)\) 判断。
▸ 显示解答
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$
$$f''(x) = 6x - 12$$
$$f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow x = 1\ \text{为极大值点},\ f(1) = 5$$
$$f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow x = 3\ \text{为极小值点},\ f(3) = 1$$
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"无穷大不是终点，而是过程的本身。" — 数学手记